miércoles, 30 de noviembre de 2016

Función Cuadrática

La función cuadrática consta de tres términos

La representación gráfica es una parábola. Si el valor de a es mayor a cero las ramas estarán hacia arriba y si a es menor a cero las ramas estarán hacia abajo.

El vértice es el punto más alto de la parábola.

La ordenada de origen es el corte con el eje Y.

Las raíces son el corte con el eje X. Una parábola puede que no tenga raíces si no corta con el eje X.

Para graficar una parábola se debe calcular los elementos necesarios utilizando como dato los valores de a, b y c.

Ejemplo: Y = X² + 2X – 3

a: 1

b: 2

c: -3

Una vez que se identifican los valores de a, b y c hay que utilizarlos para poder descubrir los puntos necesarios para graficar la parábola.

Raíces

Se debe utilizar la siguiente fórmula:

Se deben ubicar los datos que conocemos en la fórmula y resolver las cuentas y la raíz.

Para poder averiguar ambas raíces (X1 y X2) se debe terminar de resolver la ecuación dos veces. Primero con el signo en positivo para averiguar X1, y luego con el signo en negativo para averiguar X2, como señalan las flechas.

X1 = 1

X2 = -3

Vértice

Una vez que encontramos las raíces ahora hay que descubrir el vértice, éste esta dado por una coordenada (Xv; Yv) y es el punto más alto de la parábola.

Para averiguar Xv se utiliza la siguiente fórmula donde se ubican los valores y se resuelve.

Para averiguar Yv se debe usar Xv en la ecuación de la parábola remplazando X.

Y = X² + 2X – 3

Yv = (-1)² + 2 . (-1) – 3

Yv = 1 + (-2) – 3

Yv = – 4

El punto del vértice es (-1; -4).

Ordenada de origen

La ordenada de origen es igual a C, en este ejemplo la ordenada de origen de esta parábola será – 3

Ahora con todos los datos se puede graficar la parábola:

Raíces = X1: 1

X2: -3

Vértice = (-1; -4)

Ordenada de origen = -3

martes, 29 de noviembre de 2016

Ecuaciones Polinomicas, Factorizadas y Canonicas

Ecuación Polinómica

Se llama así porque la función está expresada por un polinomio:

$f(x) = ax^2 + bx + c \,$

Ecuación Factorizada

Toda función cuadrática se puede factorizar en función de sus raíces. Dada:

$f(x) = ax^2 + bx + c \,$

se puede factorizar como:

$f(x) = a(x - x_1)(x - x_2) \,$

siendo a el coeficiente principal de la función, por ello se extrae siempre como factor común, de

no escribirse, el coeficiente de x² sería siempre 1. x₁ y x₂representan las raíces de f(x). En el caso de que el Discriminante sea igual a 0 entonces x₁ = x₂ por lo que podríamos escribir:

$f(x) = a(x - x_1)^2 \,$

En este caso a x₁ se la denomina raíz doble, ya que su orden de multiplicidad es 2.

Ecuación Canónica

Toda función cuadrática puede ser expresada mediante el cuadrado de un binomio de la siguiente manera:

$f(x) = a (x - h)^2 + k \,$

Siendo a el coeficiente principal y el par ordenado (h;k) las coordenadas del vértice de la parábola. Para llegar a esta expresión se parte de la forma polinómica y se completan cuadrados.

Funciones

Ejes Cartesianos

Para ubicar un punto en un eje cartesiano se debe hacer como en el ejemplo mostrado, donde cada número pertenece a un eje.

La ordenada de origen es la intersección con el eje Y.

La raíz es la intersección con el eje X.

El dominio es el mayor valor que hay respecto con el eje X.

La imagen es el mayor valor que hay en la función en el eje Y.

La intersección entre ambos ejes (X, Y) es el origen de coordenadas.

Función lineal

Está formada por puntos alineados. Puede expresarse de la siguiente manera:

F(x) = a . X + b

Donde “a” es la pendiente y “b” es la ordenada de origen (corte con el eje Y)

Ejemplo:

Si la pendiente es mayor a cero, la función es creciente, si es menor a cero es decreciente, y si la pendiente es igual a cero es constante.

La Raíz es un corte o punto en el eje X, para encontrarla se debe igualar la función a cero y despejar X.

F(x) = 1/2 X + 3

1/2 X + 3 = 0

1/2 X = - 3

X = - 3 : ½

X = - 6

Para graficar una recta en una función lineal dada dos puntos hay que averiguar la pendiente (a) utilizando la siguiente fórmula:

Luego de encontrar la pendiente de la ecuación se debe utilizar alguno de los dos puntos y remplazarlo en la ecuación para descubrir la ordenada de origen.

Por ejemplo:

Si tenemos los siguientes puntos (-2; 4) y (1; 5) podemos descubrir la pendiente.

Ahora al tener la pendiente se debe usar uno de los puntos y remplazarlo en la ecuación para poder encontrar la ordenada de origen (b).

(X; Y) = (1; 5)

Y = a . X + b

5 = 1/3 . 1 + b

5 = 1/3 + b

5 – 1/3 = b

14/3 = b

Entonces con la pendiente y la ordenada de origen ya se puede graficar la ecuación.

Y = 1/3 . X + 14/3

La pendiente siempre debe estar en fracción, y la ordenada de origen a decimal o enteros.

Sucesiones Numéricas

Una sucesión es un conjunto infinito de números reales. Cada número de la sucesión se le llama término.

Sucesión Aritmética

En las sucesiones aritméticas la diferencia entre cada término es constante, se van sumando o restando una constante llamada Razón (R).

A1: 7

A2: 11 En este ejemplo la razón es 4.

A3: 15

A4: 19

A5: 23

El término general (AN) nos permite obtener el término de un determinado lugar de la sucesión (N).

Para sacar un término general se utiliza la siguiente fórmula:

An = A1 + R . (N – 1)

Por ejemplo si queremos saber que término hay en el lugar 15 del ejemplo anterior podemos utilizar los siguientes datos:

A1: 7

R: 4

N: 15

AN: ?

AN = 7 + 4 . (15 – 1)

AN = 7 + 4 . 14

AN = 7 + 56

AN= 63

Entonces en el lugar número 15 (N) estará el término 63.

Si se quiere sumar los primeros términos de una sucesión se puede utilizar la siguiente fórmula:

SN = [(A1 + AN) . N] : 2

(El resultado se divide en dos, mas comúnmente expresado como fracción, donde 2 es el denominador de “(A1 + AN) . N”

Si sumamos los 15 primeros términos de la sucesión sería así como se muestra a continuación, donde el primer término es 7, el último término 63, y el último lugar 15.

A1: 7

AN: 63

N: 15

SN = [(7 + 63) . 15] : 2

SN = [70 . 15] : 2

SN = 1050 : 2

SN = 525

Entonces la suma de los quince primeros términos da 525.

Sucesiones Geométricas

En una sucesión geométrica cada término es multiplicado sucesivamente por un mismo número, la Razón, que es representada con la letra “q”.

Ejemplo:

Cada término es multiplicado por 4 (Razón), empezando por el primero y así sucesivamente con cada resultado.

La siguiente fórmula puede ayudar a encontrar un determinado término (AN)

Y la fórmula para encontrar la razón:

Para sumar los primeros términos se puede usar la siguiente fórmula:

Ejemplo:

Beto se prepara para una competencia. Comienza corriendo 20 metros y duplica cada día, ¿Cuánto corrió el decimo día?

Entonces tenemos los siguientes datos: comienza con 20 metros (A1), duplica cada día (q), y el lugar de la sucesión donde esta el término que queremos encontrar es 10.

Q: 2

A1: 20

N: 10

AN: ?

AN = A1 . q ^{n – 1}

AN= 20 . 2 ^{10 – 1}

AN = 20 . 512

AN = 10240

domingo, 13 de noviembre de 2016

Conjuntos Numéricos

Los Números Naturales son los que usamos normalmente para contar (1, 2, 3, 4, 5, 6...). A los números menores que cero se le llaman Enteros Negativos y en conjunto con los números naturales, también llamados enteros positivos, conforman los Números Enteros (...-2, -1, 0, 1, 2...), que son representados cor la letra Z.

Cuando un número puede expresarse como fracción a/b y b es diferente a 0 se llaman Números Racionales. los números naturales, enteros y expresiones decimales son racionales, Ejemplos: 3/5, -1/8; 1,3 ; 1,24.

Los Racionales se representan con la letra Q.

Los números que no son racionales, es decir, que no se pueden expresar como fracción, son los Números Irracionales, como √2; el número pi (π = 3,1415...) y el número de oro.

Los Irracionales se representan con la letra I.

Todos este conjunto de números, racionales e irracionales, se llama Números Reales. Representados con la letra R.